(0,-1) ও (2,3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অংকিত বৃত্তটি x অক্ষ থেকে ক দৈর্ঘ্য এর অংশ ছেদ করে?

দুটি বিন্দুর সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\((x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0\)

এখানে প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় হলো \((x_1, y_1) = (0, -1)\) এবং \((x_2, y_2) = (2, 3)\)। এই মানগুলি সূত্রে বসিয়ে পাই:

\((x - 0)(x - 2) + (y - (-1))(y - 3) = 0\)

\(x(x - 2) + (y + 1)(y - 3) = 0\)

\(x^2 - 2x + y^2 - 3y + y - 3 = 0\)

\(x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0\)

এটিই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

এখন, এই বৃত্তটি x অক্ষকে যে অংশে ছেদ করে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। x অক্ষের উপর y এর মান সর্বদা 0 হয়। সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণে \(y = 0\) বসিয়ে পাই:

\(x^2 + (0)^2 - 2x - 2(0) - 3 = 0\)

\(x^2 - 2x - 3 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এই সমীকরণের মূলগুলি (roots) হবে x অক্ষের সাথে ছেদবিন্দুগুলির x স্থানাঙ্ক। সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করা যায় অথবা দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

\(x^2 - 3x + x - 3 = 0\)

\(x(x - 3) + 1(x - 3) = 0\)

\((x - 3)(x + 1) = 0\)

সুতরাং, \(x - 3 = 0\) অথবা \(x + 1 = 0\)

\(x = 3\) অথবা \(x = -1\)

x অক্ষের ছেদবিন্দুগুলির x স্থানাঙ্ক হলো 3 এবং -1।

x অক্ষ থেকে ছেদকৃত অংশের দৈর্ঘ্য \(k = |3 - (-1)|\)

\(k = |3 + 1|\)

\(k = |4|\)

\(k = 4\)

অতএব, বৃত্তটি x অক্ষ থেকে 4 একক দৈর্ঘ্যের অংশ ছেদ করে।

যদি কোনো বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) আকারে থাকে, তাহলে x অক্ষের ছেদকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্রটি হলো \(2\sqrt{g^2 - c}\)।

আমরা পূর্বেই বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করেছি: \(x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0\)

এই সমীকরণটিকে আদর্শ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই:

\(2g = -2 \Rightarrow g = -1\)

\(c = -3\)

এখন x অক্ষের ছেদকের দৈর্ঘ্যের সূত্রে \(g\) এবং \(c\) এর মান বসিয়ে পাই:

ছেদকের দৈর্ঘ্য \(k = 2\sqrt{g^2 - c}\)

\(k = 2\sqrt{(-1)^2 - (-3)}\)

\(k = 2\sqrt{1 + 3}\)

\(k = 2\sqrt{4}\)

\(k = 2 \times 2\)

\(k = 4\)

সুতরাং, বৃত্তটি x অক্ষ থেকে 4 একক দৈর্ঘ্যের অংশ ছেদ করে।